JOURFIXE

It is currently Fri Mar 29, 2024 1:13 am

All times are UTC - 8 hours [ DST ]




Post new topic Reply to topic  [ 928 posts ]  Go to page Previous  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 93  Next
Author Message
 Post subject: Re: Задачки
PostPosted: Tue Dec 22, 2009 3:28 pm 
Offline

Joined: Fri Sep 07, 2007 11:39 am
Posts: 7076
Касательную к параболе мы можем провести на глаз? Ну как, не совсем на глаз - приложить линейку.
Решение нужно точное? С "заданной допустимой погрешностью" (любой) не подойдёт?

_________________
Пух. Винни Пух.


Top
 Profile  
 
 Post subject: Re: Задачки
PostPosted: Tue Dec 22, 2009 3:50 pm 
Offline

Joined: Thu Nov 15, 2007 9:18 am
Posts: 3565
Location: NYC
jourfixe wrote:
Касательную к параболе мы можем провести на глаз? Ну как, не совсем на глаз - приложить линейку.
Решение нужно точное? С "заданной допустимой погрешностью" (любой) не подойдёт?

Какой "глаз"? Какая "погрешность"? :shock:
Мы здесь "школяры", а не "инженеры". :nono:
Всё должно быть точно. :einstein:
Как в пятом класс, когда учились строить серединные перпендикуляры. :oldman:


Top
 Profile  
 
 Post subject: Re: Задачки
PostPosted: Wed Dec 23, 2009 2:18 am 
Offline
User avatar

Joined: Thu Sep 06, 2007 12:20 am
Posts: 18469
Location: Шоам, Израиль
Задачка, конечно же, решаемая (байке про экзаменаторов с мехмата не особо верю, но если правда - некомильфо).

Для начала, на всякий случай, если кто не помнит - как строить с помощью линейки и циркуля перпендикуляр, делить отрезок пополам и проводить параллельные прямые.

1. Проведение перпендикуляра из заданной точки к прямой (из вики Проведение перпендикуляра из заданной точки к прямой)

Quote:
Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А' и В'.
Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A' и В' соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.
Шаг 3: (синий) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.


Attachment:
parab1.JPG
parab1.JPG [ 10.09 KiB | Viewed 11831 times ]


2. Проведение произвольного перпендикуляра к прямой
Берем произвольные две точки на прямой, далее см. п.2, начиная с шага 2.

3. Деление отрезка прямой пополам
См. п.2, начиная с шага 2. Точка О будет серединой отрезка А'В'.

4. Проведение параллльной прямой
Для начала строим произвольный перпендикуляр к заданной прямой. Затем строим перпендикуляр к перпендикуляру, если необходимо - через заранее заданную точку.

Все описанные операции далее расписываться по шагам не будут.

**********************************************************************

Теперь собственно задача.

1. Первое мозговое усилие - самое нетривиальное

Рисуем параболу y = x**2 в исходной системе координат. (Базовый график нашла где-то в Сети, звыняйте, цыркуля дома нет, а самой аккуратно чертить на компе лениво, так что качество - PowerPointовское).

Attachment:
parab2.JPG
parab2.JPG [ 50.31 KiB | Viewed 12887 times ]


a) Проведем в этой же системе координат прямую, так, как показано красной линией на рисунке: одна точка пересечения с параболой А в минусовых абсциссах, вторая В - в плюсовых. Ес-сно, ординаты точек будут y1 = x1**2 ; y2 = x2**2.

b) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Тангенс угла альфа наклона к оси абсцисс равен отношению катетов: (y2-y1) / (x2-x1)

Далее раскрываем а = (x2**2-x1**2) / (x2-x1) = (x2+x1)(x2-x1)/(x2-x1) = x2+x1

(Обращу внимание на то, что x1 - отрицательное число, так что тангенс угла наклона - это разность длин отрезков абсцисс по разные стороны от нуля)

c) Теперь посмотрим на гипотенузу треугольника АВС. Если поделить ее пополам - получим точку, которую я на чертеже обозначила D (x3,y3).

Легко видеть, что x3 = (x2+x1)/2 = a/2 - ровно половина угла тангенса наклона прямой АВ к оси абсцисс. Причем, эта величина не зависит от координат точек А и В, и будет одинаковой (!!!) для любой прямой с тем же углом наклона = любой прямой, параллельной к АВ.

2. Алгоритм восстановления осей координат

Attachment:
parab3_4.JPG
parab3_4.JPG [ 40.11 KiB | Viewed 12771 times ]


а) проводим две параллельные прямые АВ и A'B', пересекающие нашу параболу так, как описано выше: в точках, лежащих по разные стороны от нуля, что легко определяется на глаз.

b) на каждом из отрезков АВ и A'B' находим середины D и D'. Абсциссы этих точек, как мы уже знаем, будут одинаковыми - то есть, прямая DD' будет параллельна оси ординат.

c) Находим точку K пересечения прямой DD' с параболой.

Продолжение процесса показано для наглядности на рис.2 с большим увеличением.

d) Имеем точку K на параболе и прямую DD', параллельную оси ординат, но в общем случае смещенную от нее по горизонтали на неизвестную величину. Проведем через точку K перпендикуляр к прямой DD' и продолжим его до второй точки пересечения с параболой L. Точка L имеет ту же ординату, что и точка K - т.е. ее абсцисса равна абсциссе точки K с противоположным знаком = точки симметричны относительно оси ординат.

e) Делим пополам отрезок KL - его середина точка M лежит точно на оси ординат.

f) Проводим через точку M прямую, параллельную прямой DD' - это и есть искомая ось ординат y. Точка O пересечения этой прямой с параболой и есть начало искомой системы координат

g) Последний шаг - проводим через точку О перпендикулярную к оси ординат прямую - ось абсцисс x.


Last edited by Alona on Thu Dec 24, 2009 11:58 am, edited 4 times in total.

Top
 Profile  
 
 Post subject: Re: Задачки
PostPosted: Wed Dec 23, 2009 2:32 am 
Offline
User avatar

Joined: Sun Sep 09, 2007 11:53 pm
Posts: 18377
Location: St.-Petersburg, Russia
Alona,
снимаю перед Вами кепку...

_________________
Кот домашний средней пушистости


Top
 Profile  
 
 Post subject: Re: Задачки
PostPosted: Wed Dec 23, 2009 3:23 am 
Offline
User avatar

Joined: Sun Sep 16, 2007 1:38 am
Posts: 11291
Location: Israel, Netanya
Век живи, век учись, дураком помрёшь... Снимаю шляпу.
Пара мелких интересностей:
Alona wrote:
Проведение перпендикуляра из заданной точки к прямой
Заданной точки, не лежащей на прямой. Если точка лежит на прямой, надо чуток подкорректировать алгоритм.
Alona wrote:
Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A' и В' соответственно, проходящими через точку Р.
Радиус на самом деле можно менять от "чуть больше половины отрезка A' - B' " до "чуть меньше бесконечности". Более того, его придётся поменять, если точка P лежит на прямой.
Alona wrote:
g) Последний шаг - проводим через точку О перпендикулярную к оси ординат прямую - ось абсцисс x.
А вот и тот самый случай проведения перпендикуляра через точку, лежащую на прямой. Впрочем, можно провести через точку О перпендикуляр к DD'.

_________________
- Яч смить бю?
- Фыва прол джэ, йцук енгш!


Top
 Profile  
 
 Post subject: Re: Задачки
PostPosted: Wed Dec 23, 2009 3:47 am 
Offline
User avatar

Joined: Thu Sep 06, 2007 12:20 am
Posts: 18469
Location: Шоам, Израиль
Alex wrote:
Пара мелких интересностей:
Да. спасибо, но я, вообще-то тупо скопипастила описание из вики (см. ссылку). Не особо вникла - поскольку вроде как понадеялась, что стандартная процедура будет описана, как надо. Я как бы предполагала, что стандартные вещи все более-менее и так помнят - поместила их описание только, чтобы память освежить после многих лет - это ж сколько лет назад все мы в школе учились :think: :( . Фишка-то решения совсем в другом... Все равно спасибо - математическое доказательство, конечно, должно быть максимально строгим.

Я позволю себе указать на другую интересную деталь. Формулировка задачи может создать впечатление того, что описанный алгоритм работает только для параболы с единичным коэффициентом y = x**2, тогда как он справедлив для любой параболы, описываемой каноническим уравнением y = k x**2 (если еще точнее - все параболы подобны).

Изложенные выкладки для параллельных прямых претерпевают лишь небольшое изменение: тангенс угла альфа наклона к оси абсцисс а = k(x2**2-x1**2) / (x2-x1) = k(x2+x1). Так же легко видеть, что середина отрезка АВ теперь смещена от оси y не ровно на половину тангенса угла, а на величину x3 = (x2+x1)/2 = a/2k. Тем не менее, эта величина все так же не зависит от положения точек А и В, а только от угла наклона прямой, и алгоритм построения прямой DD' остается тем же.

Так что условие задачи можно и обобщить. Ну, или попросить, например, найти ось симметрии параболы.

ЗЫ. Отдельное спасибо sds за задачку - с большим удовольствием тряхнула стариной. :oldman:


Top
 Profile  
 
 Post subject: Re: Задачки
PostPosted: Wed Dec 23, 2009 7:57 am 
Offline

Joined: Thu Nov 15, 2007 9:18 am
Posts: 3565
Location: NYC
Чудно.
Я, честно говоря, не ожидал таких подробных доказательств.
Есть общий факт, что гмт (геометрическое место точек, locus) середин параллельных хорд коник - прямая. Так что находить (на глаз! опять! какие вы все тут глазастые!) точки на разных сторонах параболы совершенно необязательно.
Этот факт, кстати, позволяет восстановить оси симметрии эллипсов и гипербол циркулем и линейкой.
Грызущие локти от зависти к Алёне - это ваш шанс!


Top
 Profile  
 
 Post subject: Re: Задачки
PostPosted: Wed Dec 23, 2009 8:20 am 
Offline
User avatar

Joined: Sun Sep 23, 2007 7:41 am
Posts: 38804
Location: сами знаете...:(
sds wrote:
Чудно.
Я, честно говоря, не ожидал таких подробных доказательств.
Есть общий факт, что гмт (геометрическое место точек, locus) середин параллельных хорд коник - прямая. Так что находить (на глаз! опять! какие вы все тут глазастые!) точки на разных сторонах параболы совершенно необязательно.
Этот факт, кстати, позволяет восстановить оси симметрии эллипсов и гипербол циркулем и линейкой.
Грызущие локти от зависти к Алёне - это ваш шанс!

Дык это...она деток в садике интегралами мучаит...наблатыкалась :think:

_________________
Любая сложная проблема имеет простое, логичное, лежащее на поверхности неправильное решение.
Дедушка с 30 мая 2023 года.


Top
 Profile  
 
 Post subject: Re: Задачки
PostPosted: Wed Dec 23, 2009 8:45 am 
Offline
User avatar

Joined: Sun Sep 09, 2007 11:53 pm
Posts: 18377
Location: St.-Petersburg, Russia
sds
Забыл поблагодарить за задачу. Извините.

Что до обобщения - лично мне понадобилось некоторое усилие даже для того, чтобы понять: под кониками подразумеваются конические сечения, т.е. эллипс, парабола и гипербола. Далее еще тяжелее :)

С эллипсом понятно.
1) Проводим две параллельные хорды, делим пополам, соединяем середины. Получившаяся прямая по упомянутой теореме о гмт проходит через центр эллипса.
2) Проводим еще две хорды, параллельные между собой, но не параллельные первым, делим пополам, соединяем их середины.
3) Прямые, полученные в п. 1 и 2, пересекутся в центре эллипса
4) Ставим раствор циркуля меньше большой полуоси эллипса и меньше малой, проводим из центра эллипса окружность, делаем четыре засечки в местах пересечения ее с эллипсом
5) Из этих засечек проводим пересекающиеся окружности одного радиуса
6) Оси эллипса проходят через точки пересечения окружностей п.5 и центр эллипса
7) ч.т.д

PS: По рассужденьи зрелом, в п.2 достаточно поделить пополам отрезок из п.1 - там и центр эллипса.

А на гиперболе моя мысль останавливается.

_________________
Кот домашний средней пушистости


Top
 Profile  
 
 Post subject: Re: Задачки
PostPosted: Wed Dec 23, 2009 9:43 am 
Offline
User avatar

Joined: Sun Sep 16, 2007 1:38 am
Posts: 11291
Location: Israel, Netanya
Domnitch wrote:
под кониками подразумеваются конические сечения, т.е. эллипс, парабола и гипербола.
Ага, conics.

_________________
- Яч смить бю?
- Фыва прол джэ, йцук енгш!


Top
 Profile  
 
Display posts from previous:  Sort by  
Post new topic Reply to topic  [ 928 posts ]  Go to page Previous  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 93  Next

All times are UTC - 8 hours [ DST ]


Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 6 guests


You cannot post new topics in this forum
You cannot reply to topics in this forum
You cannot edit your posts in this forum
You cannot delete your posts in this forum
You cannot post attachments in this forum

Search for:
Jump to:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group