Задачка, конечно же, решаемая (байке про экзаменаторов с мехмата не особо верю, но если правда - некомильфо).
Для начала, на всякий случай, если кто не помнит - как строить с помощью линейки и циркуля перпендикуляр, делить отрезок пополам и проводить параллельные прямые.
1. Проведение перпендикуляра из заданной точки к прямой (из вики
Проведение перпендикуляра из заданной точки к прямой)
Quote:
Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А' и В'.
Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A' и В' соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.
Шаг 3: (синий) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.
Attachment:
parab1.JPG [ 10.09 KiB | Viewed 11936 times ]
2. Проведение произвольного перпендикуляра к прямойБерем произвольные две точки на прямой, далее см. п.2, начиная с шага 2.
3. Деление отрезка прямой пополамСм. п.2, начиная с шага 2. Точка О будет серединой отрезка А'В'.
4. Проведение параллльной прямойДля начала строим произвольный перпендикуляр к заданной прямой. Затем строим перпендикуляр к перпендикуляру, если необходимо - через заранее заданную точку.
Все описанные операции далее расписываться по шагам не будут.
**********************************************************************
Теперь собственно задача.
1. Первое мозговое усилие - самое нетривиальноеРисуем параболу y = x**2 в исходной системе координат. (Базовый график нашла где-то в Сети, звыняйте, цыркуля дома нет, а самой аккуратно чертить на компе лениво, так что качество - PowerPointовское).
Attachment:
parab2.JPG [ 50.31 KiB | Viewed 12992 times ]
a) Проведем в этой же системе координат прямую, так, как показано красной линией на рисунке: одна точка пересечения с параболой А в минусовых абсциссах, вторая В - в плюсовых. Ес-сно, ординаты точек будут y1 = x1**2 ; y2 = x2**2.
b) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Тангенс угла
альфа наклона к оси абсцисс равен отношению катетов: (y2-y1) / (x2-x1)
Далее раскрываем а = (x2**2-x1**2) / (x2-x1) = (x2+x1)(x2-x1)/(x2-x1) = x2+x1
(
Обращу внимание на то, что x1 - отрицательное число, так что тангенс угла наклона - это разность длин отрезков абсцисс по разные стороны от нуля)
c) Теперь посмотрим на гипотенузу треугольника АВС. Если поделить ее пополам - получим точку, которую я на чертеже обозначила D (x3,y3).
Легко видеть, что x3 = (x2+x1)/2 = a/2 - ровно половина угла тангенса наклона прямой АВ к оси абсцисс. Причем, эта величина не зависит от координат точек А и В, и будет одинаковой (!!!) для любой прямой с тем же углом наклона = любой прямой, параллельной к АВ.
2. Алгоритм восстановления осей координатAttachment:
parab3_4.JPG [ 40.11 KiB | Viewed 12878 times ]
а) проводим две параллельные прямые АВ и A'B', пересекающие нашу параболу так, как описано выше: в точках, лежащих по разные стороны от нуля, что легко определяется на глаз.
b) на каждом из отрезков АВ и A'B' находим середины D и D'. Абсциссы этих точек, как мы уже знаем, будут одинаковыми - то есть, прямая DD' будет параллельна оси ординат.
c) Находим точку K пересечения прямой DD' с параболой.
Продолжение процесса показано для наглядности на рис.2 с большим увеличением.d) Имеем точку K на параболе и прямую DD', параллельную оси ординат, но в общем случае смещенную от нее по горизонтали на неизвестную величину. Проведем через точку K перпендикуляр к прямой DD' и продолжим его до второй точки пересечения с параболой L. Точка L имеет ту же ординату, что и точка K - т.е. ее абсцисса равна абсциссе точки K с противоположным знаком = точки симметричны относительно оси ординат.
e) Делим пополам отрезок KL - его середина точка M лежит точно на оси ординат.
f) Проводим через точку M прямую, параллельную прямой DD' - это и есть искомая ось ординат y. Точка O пересечения этой прямой с параболой и есть начало искомой системы координат
g) Последний шаг - проводим через точку О перпендикулярную к оси ординат прямую - ось абсцисс x.