| JOURFIXE https://jou.rfixe.com/forum/ |
|
| Задачки https://jou.rfixe.com/forum/viewtopic.php?f=12&t=5693 |
Page 4 of 93 |
| Author: | jourfixe [ Tue Dec 22, 2009 3:28 pm ] |
| Post subject: | Re: Задачки |
Касательную к параболе мы можем провести на глаз? Ну как, не совсем на глаз - приложить линейку. Решение нужно точное? С "заданной допустимой погрешностью" (любой) не подойдёт? |
|
| Author: | sds [ Tue Dec 22, 2009 3:50 pm ] |
| Post subject: | Re: Задачки |
jourfixe wrote: Касательную к параболе мы можем провести на глаз? Ну как, не совсем на глаз - приложить линейку. Решение нужно точное? С "заданной допустимой погрешностью" (любой) не подойдёт? Какой "глаз"? Какая "погрешность"?  Мы здесь "школяры", а не "инженеры".  Всё должно быть точно.  Как в пятом класс, когда учились строить серединные перпендикуляры. 
|
|
| Author: | Alona [ Wed Dec 23, 2009 2:18 am ] |
| Post subject: | Re: Задачки |
Задачка, конечно же, решаемая (байке про экзаменаторов с мехмата не особо верю, но если правда - некомильфо). Для начала, на всякий случай, если кто не помнит - как строить с помощью линейки и циркуля перпендикуляр, делить отрезок пополам и проводить параллельные прямые. 1. Проведение перпендикуляра из заданной точки к прямой (из вики Проведение перпендикуляра из заданной точки к прямой) Quote: Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А' и В'. Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A' и В' соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q. Шаг 3: (синий) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ. Attachment: parab1.JPG [ 10.09 KiB | Viewed 11936 times ] 2. Проведение произвольного перпендикуляра к прямой Берем произвольные две точки на прямой, далее см. п.2, начиная с шага 2. 3. Деление отрезка прямой пополам См. п.2, начиная с шага 2. Точка О будет серединой отрезка А'В'. 4. Проведение параллльной прямой Для начала строим произвольный перпендикуляр к заданной прямой. Затем строим перпендикуляр к перпендикуляру, если необходимо - через заранее заданную точку. Все описанные операции далее расписываться по шагам не будут. ********************************************************************** Теперь собственно задача. 1. Первое мозговое усилие - самое нетривиальное Рисуем параболу y = x**2 в исходной системе координат. (Базовый график нашла где-то в Сети, звыняйте, цыркуля дома нет, а самой аккуратно чертить на компе лениво, так что качество - PowerPointовское). Attachment: parab2.JPG [ 50.31 KiB | Viewed 12992 times ] a) Проведем в этой же системе координат прямую, так, как показано красной линией на рисунке: одна точка пересечения с параболой А в минусовых абсциссах, вторая В - в плюсовых. Ес-сно, ординаты точек будут y1 = x1**2 ; y2 = x2**2. b) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Тангенс угла альфа наклона к оси абсцисс равен отношению катетов: (y2-y1) / (x2-x1) Далее раскрываем а = (x2**2-x1**2) / (x2-x1) = (x2+x1)(x2-x1)/(x2-x1) = x2+x1 (Обращу внимание на то, что x1 - отрицательное число, так что тангенс угла наклона - это разность длин отрезков абсцисс по разные стороны от нуля) c) Теперь посмотрим на гипотенузу треугольника АВС. Если поделить ее пополам - получим точку, которую я на чертеже обозначила D (x3,y3). Легко видеть, что x3 = (x2+x1)/2 = a/2 - ровно половина угла тангенса наклона прямой АВ к оси абсцисс. Причем, эта величина не зависит от координат точек А и В, и будет одинаковой (!!!) для любой прямой с тем же углом наклона = любой прямой, параллельной к АВ. 2. Алгоритм восстановления осей координат Attachment: parab3_4.JPG [ 40.11 KiB | Viewed 12878 times ] а) проводим две параллельные прямые АВ и A'B', пересекающие нашу параболу так, как описано выше: в точках, лежащих по разные стороны от нуля, что легко определяется на глаз. b) на каждом из отрезков АВ и A'B' находим середины D и D'. Абсциссы этих точек, как мы уже знаем, будут одинаковыми - то есть, прямая DD' будет параллельна оси ординат. c) Находим точку K пересечения прямой DD' с параболой. Продолжение процесса показано для наглядности на рис.2 с большим увеличением. d) Имеем точку K на параболе и прямую DD', параллельную оси ординат, но в общем случае смещенную от нее по горизонтали на неизвестную величину. Проведем через точку K перпендикуляр к прямой DD' и продолжим его до второй точки пересечения с параболой L. Точка L имеет ту же ординату, что и точка K - т.е. ее абсцисса равна абсциссе точки K с противоположным знаком = точки симметричны относительно оси ординат. e) Делим пополам отрезок KL - его середина точка M лежит точно на оси ординат. f) Проводим через точку M прямую, параллельную прямой DD' - это и есть искомая ось ординат y. Точка O пересечения этой прямой с параболой и есть начало искомой системы координат g) Последний шаг - проводим через точку О перпендикулярную к оси ординат прямую - ось абсцисс x. |
|
| Author: | Domnitch [ Wed Dec 23, 2009 2:32 am ] |
| Post subject: | Re: Задачки |
Alona, снимаю перед Вами кепку... |
|
| Author: | Alex [ Wed Dec 23, 2009 3:23 am ] |
| Post subject: | Re: Задачки |
Век живи, век учись, дураком помрёшь... Снимаю шляпу. Пара мелких интересностей: Alona wrote: Проведение перпендикуляра из заданной точки к прямой Заданной точки, не лежащей на прямой. Если точка лежит на прямой, надо чуток подкорректировать алгоритм. Alona wrote: Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A' и В' соответственно, проходящими через точку Р. Радиус на самом деле можно менять от "чуть больше половины отрезка A' - B' " до "чуть меньше бесконечности". Более того, его придётся поменять, если точка P лежит на прямой. Alona wrote: g) Последний шаг - проводим через точку О перпендикулярную к оси ординат прямую - ось абсцисс x. А вот и тот самый случай проведения перпендикуляра через точку, лежащую на прямой. Впрочем, можно провести через точку О перпендикуляр к DD'.
|
|
| Author: | Alona [ Wed Dec 23, 2009 3:47 am ] |
| Post subject: | Re: Задачки |
Alex wrote: Пара мелких интересностей: Да. спасибо, но я, вообще-то тупо скопипастила описание из вики (см. ссылку). Не особо вникла - поскольку вроде как понадеялась, что стандартная процедура будет описана, как надо. Я как бы предполагала, что стандартные вещи все более-менее и так помнят - поместила их описание только, чтобы память освежить после многих лет - это ж сколько лет назад все мы в школе учились   . Фишка-то решения совсем в другом... Все равно спасибо - математическое доказательство, конечно, должно быть максимально строгим.Я позволю себе указать на другую интересную деталь. Формулировка задачи может создать впечатление того, что описанный алгоритм работает только для параболы с единичным коэффициентом y = x**2, тогда как он справедлив для любой параболы, описываемой каноническим уравнением y = k x**2 (если еще точнее - все параболы подобны). Изложенные выкладки для параллельных прямых претерпевают лишь небольшое изменение: тангенс угла альфа наклона к оси абсцисс а = k(x2**2-x1**2) / (x2-x1) = k(x2+x1). Так же легко видеть, что середина отрезка АВ теперь смещена от оси y не ровно на половину тангенса угла, а на величину x3 = (x2+x1)/2 = a/2k. Тем не менее, эта величина все так же не зависит от положения точек А и В, а только от угла наклона прямой, и алгоритм построения прямой DD' остается тем же. Так что условие задачи можно и обобщить. Ну, или попросить, например, найти ось симметрии параболы. ЗЫ. Отдельное спасибо sds за задачку - с большим удовольствием тряхнула стариной.
|
|
| Author: | sds [ Wed Dec 23, 2009 7:57 am ] |
| Post subject: | Re: Задачки |
Чудно. Я, честно говоря, не ожидал таких подробных доказательств. Есть общий факт, что гмт (геометрическое место точек, locus) середин параллельных хорд коник - прямая. Так что находить (на глаз! опять! какие вы все тут глазастые!) точки на разных сторонах параболы совершенно необязательно. Этот факт, кстати, позволяет восстановить оси симметрии эллипсов и гипербол циркулем и линейкой. Грызущие локти от зависти к Алёне - это ваш шанс! |
|
| Author: | хмельник [ Wed Dec 23, 2009 8:20 am ] |
| Post subject: | Re: Задачки |
sds wrote: Чудно. Я, честно говоря, не ожидал таких подробных доказательств. Есть общий факт, что гмт (геометрическое место точек, locus) середин параллельных хорд коник - прямая. Так что находить (на глаз! опять! какие вы все тут глазастые!) точки на разных сторонах параболы совершенно необязательно. Этот факт, кстати, позволяет восстановить оси симметрии эллипсов и гипербол циркулем и линейкой. Грызущие локти от зависти к Алёне - это ваш шанс! Дык это...она деток в садике интегралами мучаит...наблатыкалась
|
|
| Author: | Domnitch [ Wed Dec 23, 2009 8:45 am ] |
| Post subject: | Re: Задачки |
sds Забыл поблагодарить за задачу. Извините. Что до обобщения - лично мне понадобилось некоторое усилие даже для того, чтобы понять: под кониками подразумеваются конические сечения, т.е. эллипс, парабола и гипербола. Далее еще тяжелее  С эллипсом понятно. 1) Проводим две параллельные хорды, делим пополам, соединяем середины. Получившаяся прямая по упомянутой теореме о гмт проходит через центр эллипса. 2) Проводим еще две хорды, параллельные между собой, но не параллельные первым, делим пополам, соединяем их середины. 3) Прямые, полученные в п. 1 и 2, пересекутся в центре эллипса 4) Ставим раствор циркуля меньше большой полуоси эллипса и меньше малой, проводим из центра эллипса окружность, делаем четыре засечки в местах пересечения ее с эллипсом 5) Из этих засечек проводим пересекающиеся окружности одного радиуса 6) Оси эллипса проходят через точки пересечения окружностей п.5 и центр эллипса 7) ч.т.д PS: По рассужденьи зрелом, в п.2 достаточно поделить пополам отрезок из п.1 - там и центр эллипса. А на гиперболе моя мысль останавливается. |
|
| Author: | Alex [ Wed Dec 23, 2009 9:43 am ] |
| Post subject: | Re: Задачки |
Domnitch wrote: под кониками подразумеваются конические сечения, т.е. эллипс, парабола и гипербола. Ага, conics.
|
|
| Page 4 of 93 | All times are UTC - 8 hours [ DST ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|