jourfixe wrote:
Итак, задача - восстановить чертёж.
Спасибо! О, сколько нам открытий чудных....
1. Строим окружность на гипотенузе AB, как на диаметре - здесь лежит третья вершина.
2. Из средней точки C проводим 2 луча под углом пи/3 (60гр) друг к другу и к гипотенузе.
3. Откладываем от C на этих лучах точки D и E на расстоянии AB от C: AB=CD=DE=CE, DE||AB, AD||BE.
4. Проводим луч CF||AD||BE. Пересечение F этого луча с окружностью - третья вершина.
(Прямоугольность, оказывается, не важна! просто строим окружность, с которой "гипотенуза" видна под должным углом).
Осталось доказать, что всё правильно.
Пусть G - пересечение CD и AF, H - пересечение CE и BF.
Надо доказать, что GH||AB (тогда CGH - равносторонний).
Для этого достаточно доказать, что AG:GF=BH:HF.
Это следует из троекратного(! - к треугольникам AFC, BFC, DEC) применения следующего наблюдения
(наблюл я его решая это задачку, за что отдельное спасибо автору!):
если в треугольнике ABC точка D лежит на основании BC, то
BD:CD=(AB*sin(BAD)):(AC*sin(CAD))
(это следует из сравнения площадей треугольников ABD и ACD).